일단 몬티홀 문제가 뭔지 설명하지 않는다. 혹시 모르시는 분은 웹 서핑 혹은 LLM에게 문의하길 바란다.
두괄식
몬티홀 문제를 직관적으로 설명하기는 쉽지 않다. 그래도 해보자. 염소가 어느 문 뒤에 있는지 모르는 상태라면, 각 문에 염소가 있을 확률은 \(1/3\)이다. 간단하다.
그런데 진행자가 하나의 문을 개방했다. 이 사실이 정보를 담고 있느냐 아니냐가 핵심이다. 만일 정보를 담고 있지 않다면, 문제의 확률은 여전히 \(1/3\) 것이다. 하지만 쇼의 특성상 진행자의 행동은 반드시 어떤 정보를 담게 된다. 만일 진행자가 염소가 있는 문을 열어버리면 그 순간 쇼는 썰렁하게 끝난다. 쇼의 재미상 진행자는 염소가 있는 문을 절대 열지 않는다!
현재의 선택을 고수하면, 염소를 맞출 확률은 여전히 \(1/3\)이다. 하지만 다른 문을 선택할 경우에는 \(2/3\)이다.왜냐하면 선택을 바꾸면 문을 두 개 선택하는 것과 같기 때문이다. 즉 선택을 바꾸게 되면 염소가 있을 확률이 0인 열린 문까지 함께 선택하는 것이 된다.
정식화
문제를 제대로 살펴보자. 아래와 같이 사건을 정의하자.
- \(A_i\): 문\(i\) 뒤에 염소가 있다.
- \(B\): 염소가 없는 문 하나를 연다.
문1 또는 문3 뒤에 염소가 있다고 하자. \(B\)는 문2를 여는 사건을 의미한다. 참가자가 문1을 선택했다고 하자. 각각 문1을 고수할 때 그리고 문3으로 바꿀 때 염소가 있는 문을 뽑을 확률을 구해보자.
조건부 확률은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
\[\begin{equation} \Pr(A \mid B) = \frac{\Pr(B \mid A) \Pr(A)}{\Pr(B \mid A) \Pr(A) + \Pr(B \mid \sim A) \Pr(\sim A)} \end{equation}\]
우리 문제에서는 사건이 3개이므로 다음과 같이 나타내보자.
이를 적용해 \(\Pr(A_1 \mid B)\)를 구해보자. \(\sim A\)를 두 개의 사건(\(A_2, A_3\))로 쪼개서 확률을 구하면 된다.
\[\begin{align*} \Pr(A_1 \mid B) &= \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1.0 \cdot \frac{1}{3}} \\ &= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6} + \frac{2}{6}} \\ &= \frac{1}{3} \end{align*}\]
\(\Pr(A_3 \mid B)\)를 구해보자.
\[\begin{align*} \Pr(A_3 \mid B) &= \frac{\Pr(B \mid A_3) \Pr(A_3)}{\Pr(B \mid A_3) \Pr(A_3) + \Pr(B \mid A_2) \Pr(A_2) + \Pr(B \mid A_1) \Pr(A_1)} \\ &= \frac{1.0 \cdot \frac{1}{3}}{1.0 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} \\ &= \frac{2}{3} \end{align*}\]
직관 혹은 야매
진짜 직관적으로 이야기해보자. 만일 원래 내 선택 뒤에 염소가 있었다면 사회자는 나머지 두 개의 문 중 하나를 자유롭게 열였을 것이다. 그리고 내가 문의 선택을 바꾸지 않는다면 사회자의 선택의 여지는 두 개가 된다. 반면 원래 내 선택 뒤에 염소가 없었다면 사회자가 열 수 있는 문은 단 하나에 불과하다.
문을 바꾸지 않는다는 것은 염소가 있는 문을 고르는 선택이고, 그 확률은 1/3이다. 반면 문을 바꾼다는 것은 염소가 없는 문을 두 개 고르는 선택이고, 그 확률은 2/3이다. 염소가 없는 문을 연다는 것이 일종의 트릭이다. 염소가 없는 문을 열면 문을 바꾸든 아니든 염소를 뽑을 확률이 1/2 것처럼 보인다. 하지만 우리는 선택의 문이 3개인 상황에서 시작했다. 선택을 이렇게 바꿔보자.
- 염소가 있는 문을 선택
- 염소가 없는 문을 선택
a의 확률은 1/3이고 b의 확률은 2/3이다.