일단 몬티홀 문제가 뭔지 설명하지 않는다. 혹시 모르시는 분은 웹 서핑 혹은 LLM에게 문의하길 바란다.
두괄식
몬티홀 문제를 직관적으로 설명하기는 쉽지 않다. 그래도 해보자. 염소가 어느 문 뒤에 있는지 모르는 상태라면, 각 문에 염소가 있을 확률은 \(1/3\)이다. 간단하다.
그런데 진행자가 하나의 문을 개방했다. 이 사실이 정보를 담고 있느냐 아니냐가 핵심이다. 만일 정보를 담고 있지 않다면, 문제의 확률은 여전히 \(1/3\) 것이다. 하지만 쇼의 특성상 진행자의 행동은 반드시 어떤 정보를 담게 된다. 만일 진행자가 염소가 있는 문을 열어버리면 그 순간 쇼는 썰렁하게 끝난다. 쇼의 재미상 진행자는 염소가 있는 문을 절대 열지 않는다!
현재의 선택을 고수하면, 염소를 맞출 확률은 여전히 \(1/3\)이다. 하지만 다른 문을 선택할 경우에는 \(2/3\)이다. 왜냐하면 선택을 바꾸면 문을 두 개 선택하는 것과 같기 때문이다. 선택을 바꾸게 되면 염소가 없을 문을 선택하는 형태로 문제가 바뀐다. 염소가 없을 문을 선택할 확률은 \(2/3\)이다.
정식화
문제를 제대로 살펴보자. 아래와 같이 사건을 정의하자.
- \(A_i\): 문\(i\) 뒤에 염소가 있다.
- \(B\): 염소가 없는 문 하나를 연다.
문1 또는 문3 뒤에 염소가 있다고 하자. \(B\)는 문2를 여는 사건을 의미한다. 참가자가 문1을 선택했다고 하자. 각각 문1을 고수할 때 그리고 문3으로 바꿀 때 염소가 있는 문을 뽑을 확률을 구해보자.
조건부 확률은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
\[\begin{equation} \Pr(A \mid B) = \frac{\Pr(B \mid A) \Pr(A)}{\Pr(B \mid A) \Pr(A) + \Pr(B \mid \sim A) \Pr(\sim A)} \end{equation}\]
우리 문제에서는 사건이 3개이므로 다음과 같이 나타내보자.
이를 적용해 \(\Pr(A_1 \mid B)\)를 구해보자. \(\sim A\)를 두 개의 사건(\(A_2, A_3\))로 쪼개서 확률을 구하면 된다.
\[\begin{align*} \Pr(A_1 \mid B) &= \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1.0 \cdot \frac{1}{3}} \\ &= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6} + \frac{2}{6}} \\ &= \frac{1}{3} \end{align*}\]
\(\Pr(A_3 \mid B)\)를 구해보자.
\[\begin{align*} \Pr(A_3 \mid B) &= \frac{\Pr(B \mid A_3) \Pr(A_3)}{\Pr(B \mid A_3) \Pr(A_3) + \Pr(B \mid A_2) \Pr(A_2) + \Pr(B \mid A_1) \Pr(A_1)} \\ &= \frac{1.0 \cdot \frac{1}{3}}{1.0 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} \\ &= \frac{2}{3} \end{align*}\]
직관 혹은 야매
진짜 직관적으로 이야기해보자. 만일 원래 내 선택 뒤에 염소가 있었다면 사회자는 나머지 두 개의 문 중 하나를 자유롭게 열였을 것이다. 그리고 내가 문의 선택을 바꾸지 않는다면 사회자의 선택의 여지는 두 개가 된다. 반면 원래 내 선택 뒤에 염소가 없었다면 사회자가 열 수 있는 문은 단 하나에 불과하다.
문을 바꾸지 않는다는 것은 염소가 있는 문을 고르는 선택이고, 그 확률은 여전히 1/3이다. 애초에 염소가 없는 문을 선택할 확률은 2/3이다. 이렇게 생각해보자. 문제가 염소가 없는 문을 선택할 확률이었다면? 이는 참가자에게 확률적으로 유리한 쇼였을 것이다. 사회자가 염소가 없는 문을 하나 연다는 것은 어떤 행위일까? 이는 일종의 트릭이다. 바뀐 것은 없다. 다만 문을 바꾼다는 것의 의미는 명확하다. 문을 바꾼다는 것은 문제를 바꾸는 것과 같다.